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L'instrument mathématique: le calcul des probabilités

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L'instrument mathématique: le calcul des probabilités
written by Émile Borel
1935



  • L'instrument mathématique: le calcul des probabilités

C'est, si je ne me trompe, l'illustre philosophe anglais Bertrand Russell qui a donné des mathématiques la définition quelque peu humoristique suivante : « C'est la seule science où l'on ne sait lamais de quoi l'on parle et où l'on ignore toujours si ce qu'on dit est vrai. » Ceci veut dire que l'on part d'axiomes et de définitions arbitraires et que la vérité des conclusions dépend des conventions faites sur ces axiomes et définitions. Les définitions géométriques peuvent être celles de la géométrie euclidienne, ou de la géométrie de Lobatchevski ; on donne ainsi des sens différents aux mots : droite, plan, cercle, etc., et l'on aboutit à des vérités différentes. L'aphorisme de Russell peut, comme il arrive souvent, être retourné : il est également permis de dire que les mathématiques sont la seule science où l'on sait toujours très exactement de quoi l'on parle, puisque l'on part de définitions précises, et où l'on est toujours certain de la vérité des conclusions, puisqu'il est sous-entendu que cette vérité signifie simplement l'accord logique avec les axiomes et les définitions qui constituent le point de départ de la Science mathématique ou d'une de ses branches : arithmétique, analyse, géométrie, mécanique rationnelle, calcul des probabilités, théorie des vecteurs, etc. Il est en effet possible de développer complètement chacune de ces théories par la méthode axiomatique, c'est-à-dire, en disant, par exemple, s'il s'agit de la géométrie plane : « Nous définissons certaines choses que nous appelons des points et des droites ; nous imposons à ces choses certaines propriétés, telles que la suivante : deux points distincts déterminent une droite , etc. De cet ensemble cohérent et non contradictoire de définitions et d'axiomes, nous déduisons, de proche en proche, les définitions et les propriétés de tous les êtres géométriques. » On ne peut nier que cette conception axiomatique de la Science mathématique a permis d'élucider bien des difficultés philosophiques et a permis également des progrès importants de la Science mathématique elle-même. Il est cependant à peu près certain que si les mathématiques ainsi conçues n'avaient aucun rapport avec la réalité concrète et étaient complètement dénuées d'utilité pratique, l'intérêt qu'y attachent les savants serait moindre. Il est même certain que si la Géométrie n'avait pas été étudiée et perfectionnée pendant des siècles, sans intervention de la méthode axiomatique, il ne serait venu à l'esprit d'aucun savant de penser à des « choses » qu'il aurait appelées de noms arbitraires et qu'il aurait dotées à priori des propriétés essentielles que les géomètres ont reconnu appartenir aux points et aux droites. Lorsque l'on veut exprimer qu'une affirmation est incontestable, on dit souvent qu'elle est aussi exacte que « 2 et 2 font 4 », c'est-à-dire qu'elle a le même degré de certitude que les vérités de l'arithmétique. Inversement, lorsqu'un auteur dramatique (Jean COCTEAU, Les Chevaliers de la Table Ronde) veut indiquer qu'il nous transporte dans le domaine de la fantaisie et de l'irréel, il suffit qu'il fasse prononcer par l'un de ses personnages ces paroles fatidiques : « 2 et 2 ne font plus 4 », pour que les spectateurs admettent que toutes les opérations de la magie deviennent possibles. Si l'exactitude rigoureuse, non seulement des calculs arithmétiques, mais des résultats les plus compliqués de la théorie des nombres, de l'algèbre et de l'analyse ne sont ni contestés, ni contestables, la question se pose d'une manière un peu différente lorsqu'on arrive aux branches des mathématiques qui, comme la Géométrie et la Mécanique, sont plus voisines du concret. Les objets concrets auxquels nous pouvons appliquer les résultats obtenus dans ces sciences ne peuvent être rigoureusement assimilés aux êtres abstraits sur lesquels. raisonne le mathématicien. La concordance à peu près parfaite des calculs de la Mécanique céleste avec les observations astronomiques n'en est que plus remarquable ; il n'est pas besoin d'autre exemple pour qu'il soit permis d'affirmer que la Géométrie et la Mécanique rationnelle ont une incontestable valeur pratique, en ce sens qu'elles permettent de prévoir avec précision et certitude des phénomènes concrets, telles que les phases d'une éclipse de Soleil aux divers points de la surface terrestre. Tous les hommes ne s'intéressent pas aux théories de l'Algèbre et de l'Analyse, ni même aux éclipses de Soleil et de Lune, mais les plus ignorants savent que les calculs d'un bon comptable ne peuvent être contestés, ni ceux d'un arpenteur fixant la superficie d'un terrain. Chacun est habitué à se soumettre, dans une foule de circonstances, au résultat d'un calcul exact ou d'une mesure bien faite. Telle est la raison pour laquelle l'auteur d'un Traité d'arithmétique, d'algèbre, d'analyse, de géométrie ou même de mécanique, n'a jamais considéré comme nécessaire de prouver à ses lecteurs que la science exposée a véritablement une valeur pratique : ce serait enfoncer une porte ouverte...

Les probabilités et les échelles humaine, terrestre, cosmique. — La théorie des probabilités se distingue au premier abord des autres branches des mathématiques et même des autres sciences, en ce que, par sa nature même, elle ne peut jamais prétendre nous donner une certitude. Sans doute peut-on dire, lorsqu'on se place au point de vue abstrait et axiomatique, que les déductions y sont aussi rigoureuses que dans les autres sciences et que les valeurs obtenues pour des probabilités bien définies, lorsque l'on admet certains postulats, sont rigoureusement exactes : mais, lorsque l'on passe dans le domaine des applications pratiques, on est bien obligé de constater que même si la valeur d'une probabilité était connue avec certitude, cette connaissance ne pourrait jamais entraîner comme conséquence pratique une certitude, mais, au contraire, une incertitude, puisque précisément l'objet même des déductions et des calculs est simplement une probabilité et non un nombre, une longueur, un temps, comme en Arithmétique, en Géométrie, en Astronomie. Les vérifications sont par suite toujours sujettes à caution, puisque, même si le cas favorable est de beaucoup le plus probable, le cas défavorable peut cependant se produire, sans que pour cela la théorie et le calcul puissent être regardés comme étant en défaut. La théorie prédit la ruine des joueurs ; on pourrait néanmoins citer des cas, à la vérité fort rares, où tel joueur cependant honnête s'est enrichi. Il est vrai que la théorie ne prédit cette ruine qu'au joueur professionnel théorique, qui ne cesse pas de jouer et que tout joueur réel doit bien finir par interrompre son jeu, ne serait-ce qu'à la fin de sa vie. Il y a néanmoins contradiction apparente entre la théorie et l'expérience. Les théoriciens des probabilités ont depuis longtemps répondu à cette objection, mais ils n'ont pas toujours été compris, et iI est nécessaire d'insister sur des points qui sont élucidés depuis longtemps pour tous ceux qui ont réfléchi à ces questions. Rappelons donc que l'on ne peut, par le calcul, transforme une grandeur quelconque qu'en grandeur de même nature ; en calculant sur des probabilités, on ne peut obtenir que des probabilités. Mais il arrive que, dans des cas nombreux, on peut obtenir, comme résultat du calcul, des probabilités extrêmement petites, et la signification pratique de telles probabilités devient alors beaucoup plus aisée à comprendre. Observons, en passant, une différence importante entre les probabilités et les nombres concrets que l'on considère en arithmétique ; de tels nombres ne peuvent pas être regardés comme grands ou petits, car leur grandeur ou leur petitesse pratique dépend de l'unité choisie. Un milliard est un grand nombre s'il exprime des kilogrammes ; c'est un nombre bien petit s'il s'agit de compter des atomes. Inversement, un milliardième sera pour l'homme une longueur assez grande si l'unité choisie est l'année (le lumière. En probabilités, l'unité choisie est toujours la même, car c'est une convention fondamentale que la probabilité égale à un équivaut à la certitude (ou à la quasi-certitude, dans les cas où intervient l'infini) ; par suite, nous avons une échelle absolue pour mesurer le degré de petitesse des probabilités. Il faut cependant tenir compte, dans l'évaluation de la petitesse des probabilités, d'un élément essentiel, qui est le nombre plus ou moins grand des possibilités de recommencer l'expérience, ou, tout au moins, l'ordre de grandeur de ce nombre. Dans cette évaluation, on est naturellement conduit à faire intervenir des données humaines, c'est-à-dire des données relatives à la constitution même de l'homme, au nombre d'hommes qui vivent sur la terre et, enfin, à la constitution de la portion de l'univers qui est plus ou moins accessible à l'homme. Si nous considérons d'abord un homme isolé, qui cherchera dans le calcul des probabilités une règle de vie usuelle, nous arriverons, par l'étude même des actions humaines les plus habituelles, à la conclusion pratique que, dans la conduite ordinaire de sa vie, tout homme néglige habituellement les probabilités dont l'ordre de grandeur est inférieur à 10^(-6), c'est-à-dire un millionième, et nous constaterons même qu'un homme qui voudrait tenir constamment compte de possibilités aussi peu probables, deviendrait rapidement un maniaque ou même un fou. La probabilité négligeable à l'échelle humaine peut être prise égale à 10^(-6). Si nous portons notre attention, non plus sur un homme isolé, mais sur l'ensemble des hommes vivant à la surface de la Terre, leur nombre étant de l'ordre de grandeur du milliard, c'est-à-dire de 10^(9), nous devrons diviser par ce chiffre la probabilité 10^(-6), ce qui nous donnera 10^(-15) pour la probabilité négligeable à l'échelle terrestre. Enfin, si nous envisageons les phénomènes qui peuvent se passer dans toute la portion de l'univers qui nous est accessible nous arriverons à la conclusion que la probabilité 10^(-50) est certainement négligeable à l'échelle cosmique et, par suite, que lorsque la probabilité, pour qu'un événement ne se produise pas, est inférieure à 10^(-50), nous devons regarder cet événement comme absolument certain. La théorie des probabilités est donc une science dont la valeur pratique n'est nullement inférieure à celle des autres sciences. On voit que la démarcation que l'on aurait pu être tenté d'établir entre la valeur pratique de la théorie des probabilités et la valeur pratique des autres branches des mathématiques est beaucoup moins absolue qu'on n'aurait pu le croire au premier abord, si l'on a soin, comme il est naturel, pour se rendre compte de la valeur pratique d'une science, de se placer, non dans l'abstrait, mais dans les conditions mêmes où elle est pratiquement utilisée et utilisable. La question de la valeur de la théorie des probabilités est, en réalité, au centre de la théorie de la connaissance scientifique, car la valeur de tous les résultats de la science ne peut être évaluée que par un coefficient de probabilité. La théorie des probabilités ne peut pas échapper, plus que toute autre théorie scientifique, au scepticisme métaphysique décidé à nier toute raison et toute logique et à ne voir dans l'univers qu'une série d'apparences incohérentes, les lois scientifiques les mieux établies étant de pures coïncidences fortuites ; mais une telle attitude se condamne par son outrance même ; dès qu'on y renonce, la théorie des probabilités acquiert la même valeur pratique et philosophique que toute autre théorie scientifique : bien plus, elle apparaît comme étant à la base de toutes nos connaissances.

La notion de causalité et les probabilités. — L'une des réponses les plus décisives que l'on puisse faire à ceux qui mettent en doute la valeur pratique ou scientifique du calcul des probabilités, c'est qu'ils devraient, par voie de conséquence, mettre en doute toutes nos connaissances pratiques et scientifiques, car toutes ces connaissances reposent, en définitive, d'une manière plus ou moins consciente, sur des applications du calcul des probabilités. Les peuples primitifs, si nous en croyons les savants qui ont étudié certaines peuplades encore imbues de la mentalité primitive, ne paraissent pas avoir compris nettement le caractère des relations de cause à effet ; ils ne sont nullement persuadés que, dans des circonstances semblables, une même cause produit nécessairement un effet déterminé. Sans vouloir contester les résultats fort intéressants des études ainsi poursuivies sur les peuplades primitives, il est permis de penser que tout homme, et même tout animal, ne pourrait pas vivre longtemps s'il ne faisait pas fréquemment des applications, plus ou moins conscientes du principe de causalité. Dès qu'un petit nombre d'expériences lui ont montré que le fait de boire étanche sa soif, il prend l'habitude de chercher à boire quand il ressent la soif. Dès les premiers progrès de la civilisation, les applications du principe de causalité devinrent rapidement plus nombreuses et plus précises ; vouloir les mentionner toutes conduirait à écrire l'histoire des progrès de l'humanité. Pour établir une loi scientifique, on fait un certain nombre d'expériences, qui sont généralement précédées de recherches théoriques ou d'une intuition heureuse ; on se propose d'établir une relation entre une série de phénomènes A, qui sont les effets et une autre série de phénomènes C, qui sont les causes présumées de ces effets ; si l'on constate qu'à des valeurs différentes de C, C1, C2, ..., Cn correspondent toujours des valeurs bien déterminées de A, A1, A2, ..., An, la valeur A1, correspondant toujours à C1, A2, à C2, etc., on pourra énoncer une loi d'après laquelle A dépend de C et seulement de C. La difficulté consiste en ce que la cause C n'est jamais unique ; il y a toujours d'autres circonstances qui varient d'une expérience à l'autre, et il s'agit précisément de savoir si l'on a le droit de considérer ces circonstances comme accessoires ; pour prendre un exemple, il a fallu que la mécanique fasse de sérieux progrès pour que l'on se rende compte que la longueur du pendule qui bat la seconde dépend de la latitude. Avant d'aborder la discussion de ces difficultés il est nécessaire d'exposer et de critiquer brièvement une théorie simple, qui peut invoquer dans le passé l'autorité de grands noms, tels que celui de Laplace, et qui, malgré les réfutations dont elle a été l'objet, revient encore souvent sous des formes diverses dans l'esprit de ceux qui abordent, pour la première fois, ces problèmes. Cette théorie consiste à assimiler l'événement dont on veut déterminer la probabilité à un tirage dans une urne de composition inconnue ; l'arrivée de l'événement est assimilée au tirage d'une boule blanche ; si un très grand nombre de fois l'événement se produit, tandis que l'événement contraire ne se produit jamais, c'est comme si un très grand nombre d'extractions successives de l'urne donnaient toujours une boule blanche ; on en conclut que la probabilité pour que l'urne contienne exclusivement des boules blanches est très voisine de l'unité, et par suite que la probabilité pour que de nouvelles extractions fournissent toujours des boules blanches est également très voisine de l'unité, ce qui revient à dire que l'on peut affirmer, en négligeant une probabilité très petite, que l' événement considéré se reproduira de nouveau, à l'exclusion de l'événement contraire. Pour appliquer ce raisonnement à un cas concret, cherchons la probabilité pour que le Soleil se lève demain à Athènes ; depuis plus de 3.000 ans, c'est-à-dire depuis plus d'un million de jours, ce phénomène a été observé tous les jours ; ceci équivaut au fait qu'un million d'extractions ont toutes fourni des boules blanches, la probabilité pour qu'une nouvelle extraction fournisse également une boule blanche diffère de l'unité d'environ un millionième, soit 10^(-6) ; cette différence rentre dans la catégorie des probabilités qui sont négligeables à l'échelle humaine ; telle est la médiocre certitude que nous donne l'assimilation du lever du Soleil au tirage dans une urne ; nous sommes tous persuadés que la probabilité est bien plus voisine de l'unité et c'est déjà une première raison intuitive pour nous méfier de ce raisonnement. Examinons-le d'un peu plus près. Observons d'abord que nous ne pouvons supposer que Laplace ignorait que les astronomes ont des raisons bien plus sérieuses que les observations du lever du Soleil dans les siècles passés pour croire que le Soleil se lèvera demain ; nous devons donc admettre que la probabilité qu'il calcule par la méthode de l'assimilation aux urnes n'est pas la probabilité pour l'astronome mais pour l'homme de la rue, ou plutôt pour l'homme des champs, qui ne se targue d'aucune connaissance scientifique et qui connaît simplement par son observation personnelle, et par celle de ses ancêtres, un certain nombre de faits directement observés. Mais si l'on se place à ce point de vue, on sera porté à penser, avec Joseph Bertrand, que la probabilité calculée est au contraire trop voisine de l'unité. Bertrand imagine deux voyageurs. Pierre et Paul, qui ont observé que le Soleil se lève tous les jours et qui savent que leurs ancêtres l'ont observé également. Pierre, qui est un esprit fort, doute cependant que ce soit là une raison suffisante pour être certain que le Soleil se lèvera demain et il conserve un doute à ce sujet ; il se déclare prêt à verser chaque soir 1 franc à Paul, à condition que celui-ci s'engage à lui payer 100.000 francs si le Soleil ne se lève pas le lendemain. Paul s'empresse de tenir le pari et, pendant des années, les voyageur courent l'Europe en tous sens (nous sommes à l'époque où il n'y avait pas de chemins de fer) ; chaque soir, régulièrement, Pierre verse 1 franc à Paul. Au bout de quelques années cependant leurs pérégrinations les conduisent, au cours de l'hiver, au delà du cercle polaire, le Soleil ne se lève pas et Pierre regagne en un seul jour bien plus qu'il n'a perdu au cours des années précédentes. La morale de cette histoire fantaisiste est que l'on risque fort de se tromper en simplifiant trop les données d'un problème scientifique ; pour décider de la probabilité ou de la certitude d'un phénomène astronomique, il ne suffit pas de faire des observations grossières, même nombreuses, il est nécessaire de construire une théorie complète des mouvements des corps célestes ; l'assimilation d'un phénomène souvent observé à un tirage dans une urne ne se justifie en rien. Dans l'étude de certains phénomènes, la notion du déterminisme scientifique conduit à admettre que deux compositions seulement sont possibles pour l'urne : ou bien elle ne renferme que des boules blanches, ou bien elle ne renferme que des boules noires ; dans ce cas extrême, il peut suffire d'un seul tirage, c'est-à-dire d'une seule expérience bien faite, pour connaître avec certitude la composition de l'urne, c'est-à-dire pour connaître la loi du phénomène. Par exemple, pour savoir si du sucre se dissout dans l'eau à la température ordinaire, il suffit de mettre un morceau de sucre dans un verre d'eau ; on sait que l'expérience pourra être répétée aussi souvent que l'on voudra et qu'elle donnera toujours le même résultat, tout au moins si l'on utilise des morceaux de sucre de même fabrication et de l'eau puisée à la même source.

La probabilité et la méthode expérimentale. — Venons-en maintenant aux expériences ou observations scientifiques proprement dites, et cherchons à nous rendre compte de la probabilité qu'elles permettent d'attribuer aux lois pour la vérification desquelles elles ont été instituées. Rappelons à ce propos les remarques bien connues de Lord Kelvin : une science ne mérite véritablement ce nom que si les lois qu'elle énonce peuvent se traduire en nombres et le degré de perfection de chaque science se mesure au degré de précision des nombres qu'elle observe ou qu'elle permet de prévoir. En fait, en physique et en chimie, toute expérience, comme toute observation en astronomie, se traduit par la détermination d'un nombre qui est lu sur une échelle graduée ou calculé en comptant les poids mis dans le plateau d'une balance, ou par tout autre moyen analogue (statistique des émissions de particules radioactives, etc.). Ce nombre est déterminé avec une précision variable suivant la nature des expériences ou des observations ; plaçons-nous dans le cas où l'on peut compter sur trois chiffres exacts. La vérification d'une hypothèse théorique, ou plutôt d'un ensemble d'hypothèses, se présente alors sous la forme suivante : le calcul nous apprend, par exemple, que le nombre observé devrait être 356,17 ; l'expérience ou l'observation nous fournissent ou 357, ou 355 ; nous considérons alors cette expérience ou cette observation comme confirmant la théorie. Dans d'autres cas, où l'on convient de dire qu'il y a des erreurs fortuites, le chiffre observé sera par exemple, 340 ou 367 ; en ce cas, on devra recommencer l'expérience plusieurs fois et, si l'on obtient plusieurs résultats dispersés entre 340 et 370, dont la moyenne est voisine de 356,17, on regardera encore ces résultats comme confirmant la théorie. Quelle est la probabilité qui résulte de cette méthode ? Dans l'ignorance totale où nous nous trouvons des causes inconnues qui peuvent influer sur la mesure, indépendamment des causes connues ou hypothétiques au moyen desquelles nous avons bâti notre théorie, il est naturel d'admettre que, si notre théorie est inexacte, il n'y a aucune raison pour que nous observions Ie nombre 356 plutôt que n'importe quel autre nombre de trois chiffres ; il n'y a pas de raison non plus pour que nous n'observions pas 356 tout aussi bien que n'importe quel autre nombre. Dans certains cas, d'ailleurs, on pourra être amené à exclure comme peu vraisemblables les nombres inférieurs à 100 ou trop rapprochés de 1000 et à ne considérer comme possibles, par exemple, que les nombres compris entre 100 et 800, les nombres voisins de ces limites étant même moins probables que les autres. Même avec ces restrictions, on voit que la probabilité pour que le hasard ait fourni l'un des trois nombres 355, 356, 357 est inférieure à 1/100, c'est-à-dire à 10^(-2). La probabilité pour que l'observation faite soit une conséquence, c'est-à-dire une vérification des hypothèses faites, diffère donc de l'unité de moins de 10^(-2). Si la même expérience est recommencée plusieurs fois de suite et donne toujours le même résultat, la probabilité pour qu'une telle coïncidence soit due au hasard sera égale au produit de facteurs inférieurs à 10^(-2), facteurs en nombre égal au nombre des expériences. Il suffira donc d'une douzaine d'expériences pour que cette probabilité, inférieure à 10^(-24), puisse être regardée comme négligeable et pour que l'on puisse, par suite, considérer la vérification des hypothèses faites comme entièrement satisfaisante. Il convient toutefois de faire deux réserves. La première et la plus importante est relative à l'indépendance des probabilités, indépendance indispensable pour l'application correcte du théorème des probabilités composées. Il faut donc admettre qu'il n'y a pas, dans les expériences successives, certains éléments communs, autres que ceux qui y ont été introduits précisément en vertu des hypothèses à vérifier, éléments communs auxquels pourrait être due la concordance des résultats de ces expériences. Supposons, pour prendre un exemple assez grossier, mais cependant probant, que l'un des appareils de mesure soit bloqué, sans que l'expérimentateur s'en soit aperçu et que la lecture donne par suite le même résultat, quelles que soient les conditions de l'expérience ; si ce résultat coïncide une première fois avec le résultat prévu, il en sera de même quel que soit le nombre d'expériences, et la probabilité pour qu'une telle coïncidence soit due au hasard, sera toujours 10^(-2), c'est-à-dire qu'un tel évènement est relativement assez probable. On évitera cette difficulté en variant certaines des conditions de l'expérience de telle manière que, d'après les hypothèses à vérifier, le résultat varie à chaque nouvelle expérience. La probabilité pour que cette variation soit précisément obtenue chaque fois par une variation concomitante des éléments inconnus, sur lesquels on n'a pas d'action, est évidemment de l'ordre de grandeur de 10^(-2) si le succès de chaque expérience est tel que nous l'avons supposé. Une autre réserve est relative aux hypothèses qui auraient pu être négligées, mais qui, dans tous les cas, ou dans l'immense majorité des cas, n'exerceraient qu'une faible influence sur le résultat. Pour reprendre l'exemple numérique que nous avons donné, il est bien clair que si une hypothèse supplémentaire, constituant une modification de la théorie, conduit au résultat théorique 356,23, au lieu de 356,17, l'observation faite du nombre 356 ne permettra pas de décider si cette modification de la théorie doit être acceptée ou rejetée ; il faudrait pour cela des expériences plus précises. Il nous faudrait parler également des erreurs dues à des défauts personnels à tel observateur ; par exemple, un daltonien confond le rouge et le vert; un observateur qui dirait toujours rouge pour vert et inversement ne sera pas daltonien, mais ignorant de la langue française ; il pourrait arriver que, cherchant à se corriger de cette erreur invétérée, il n'y parvienne que partiellement et retombe parfois dans une erreur ancienne; il pourrait alors avoir l'apparence d'un daltonien. Bien d'autres exemples pourraient être donnés de difficultés analogues personnelles aux observateurs. On les évitera en recourant à des observateurs différents. On peut remarquer que, dans le cas que nous venons de signaler, si des progrès nouveaux de la science et une précision plus grande dans les observations, permettent de confirmer l'hypothèse nouvelle, c'est-à-dire la modification à la théorie, on pourra néanmoins, dans la plupart des cas, continuer à affirmer que la théorie reste exacte à une première approximation, les résultats nouveaux constituant seulement, au point de vue pratique, un perfectionnement de détail. Il n'est peut-être pas de loi scientifique qui ne soit exposée à subir, un jour ou l'autre, tels perfectionnements de détail ; constater ce fait ne diminue pas la valeur de la science. Il ne faut pas craindre d'affirmer qu'une connaissance approximative mérite véritablement le nom de connaissance scientifique ; connaître avec certitude 5 ou 6 chiffres significatifs d'un nombre inconnu est un résultat positif, même si l'on doit avouer que l'on ne sait rien sur les autres chiffres qui représentent des unités décimales d'ordre inférieur.

Jugements qualitatifs et quantitatifs. — La théorie que nous venons d'esquisser, et qui reste sur le terrain concret des déterminations quantitatives, est fort différente des spéculations logiques des philosophes sur la valeur de l'induction, dans lesquelles ils considèrent le plus souvent des jugements qualitatifs, lesquels peuvent avoir, à leurs yeux, une valeur absolue, tandis qu'un jugement quantitatif, c'est-à-dire une mesure, ne peut jamais avoir qu'une valeur relative, puisque le résultat n'est jamais connu qu'avec une certaine approximation. On peut se demander s'il n'y a pas une certaine illusion dans le fait d'attribuer une valeur plus grande aux jugements qualitatifs qu'aux jugements quantitatifs qui paraissent, au contraire, aux yeux des savants, avoir une plus grande précision, malgré l'incertitude qui résulte des approximations. Nous avons observé que la proposition type du syllogisme: tout homme est mortel, ne pourra jamais être réfutée par l'expérience, car un homme vivrait-il un million d'années on ne saurait en conclure qu'il n'est pas mortel. En fait, aux yeux de ceux qui l'énoncent, cette proposition signifie en réalité que la vie humaine est limitée à un nombre d'années assez faible, disons pour être sûr de ne pas être contredit, même par ceux qui croient aux nombreux centenaires des pays où il n'y a pas d'état civil, à 200 ans au plus. Remarquons alors que si l'on voulait énoncer une limite précise et dire par exemple : la vie humaine, dans les cas scientifiquement observés ne dépasse pas 120 ans, on risquerait d'être fort embarrassé s'il arrivait un jour qu'un homme meure précisément au 120e anniversaire de sa naissance. Comment savoir si les 120 ans ont été ou non dépassés? devrait-on compter les années civiles, qui peuvent comprendre une ou deux années bissextiles en plus ou en moins, suivant les règles du calendrier grégorien, ou faire le calcul avec l'année solaire moyenne ? Comment connaître, d'autre part, avec une précision rigoureuse, l'heure, la minute, la seconde de la naissance ou de la mort. Il serait donc assez probable que, dans ce cas, à vrai dire assez singulier, il ne serait pas possible de savoir si la proposition d'après laquelle la vie de l'homme ne peut dépasser 120 ans est vraie ou fausse. II en est de même pour la plupart des propositions qualitatives si j'affirme que je n'ai pas quitté la France en 1937, que faut-il en penser, si j'ai fait une promenade à pied au voisinage d'un poteau-frontière, ou une promenade en mer à la limite des eaux territoriales ? Qu'il s'agisse des couleurs, qui se ramènent à des longueurs d'onde, ou des espèces chimiques plus ou moins pures, la qualité se ramène à la quantité, dès qu'on veut bien regarder les problèmes de près. Les jugements qualitatifs peuvent cependant être regardés comme certains lorsqu'ils se ramènent à des jugement quantitatifs dans lesquels subsiste une marge considérable; par exemple, si je suis resté à plus de 20 kilomètres des frontières, je puis affirmer que je n'ai pas quitté la France ; mais ce jugement qualitatif est moins précis que le jugement quantitatif dans lequel je ferais figurer les 20 kilomètres.

Caractère subjectif de la probabilité. — Pour comprend certaines erreurs commises dans des applications du calcul des probabilités, il est nécessaire d'insister brièvement sur le caractère subjectif de la probabilité, caractère connu depuis fort longtemps, mais qui a été mis en évidence d'une manière particulièrement claire par J. M. Keynes. Cet auteur a même, sans doute pour mieux se faire comprendre, exagéré sa pensée jusqu'à nier complètement ce que Poincaré et beaucoup d'autres ont appelé probabilité objective. L'idée fondamentale de Keynes, c'est que l'on n'a jamais droit de parler de la probabilité d'un événement, mais seul de la probabilité d'un jugement porté par un individu humain déterminé sur cet événement. Par exemple, on ne doit pas dire que la probabilité pour qu'un coup de dés amène double-six est 1/36 mais que la probabilité pour que Pierre dise juste lorsqu'il affirme que le coup de dés amènera double-six est 1/36. Cet exemple est le type de probabilités que l'on est généralement d'accord pour qualifier d'objectives, pour la raison que la valeur 1/36 est la même quel que soit Pierre, c'est-à-dire est indépendante de l'individu humain qui émet le jugement. Si, cependant, Pierre était un tricheur et si ses dés étaient pipés, il pourrait se faire que la probabilité pour qu'il dise juste lorsqu'il affirme qu'il obtiendra double-six, soit notablement supérieure à 1/36. Donnons des exemples de cas dans lesquels l'affirmation de Keynes est exacte. Il y a demain des courses de chevaux sur tel hippodrome ; je ne connais rien aux chevaux de course, et l'on me donne ce renseignement que 12 chevaux sont engagés. Si l'on me demande quelle est la probabilité pour que le cheval A soit gagnant, je ne pourrai donner qu'une seule réponse : cette probabilité est 1/12 puisque, pour moi, il n'y a aucune différence entre les 12 chevaux engagés, aucune raison pour que l'un d'eux gagne plutôt qu'un autre. La probabilité du jugement que j'énonce en affirmant aujourd'hui que A gagnera est donc certainement 1/12. Mais, demain matin, j'apprends que 3 des chevaux engagés ont déclaré forfait et qu'il n'y aura que 9 partants ; aussitôt si je sais que A sera au nombre des partants, la probabilité de mon jugement devient 1/9. Il est à peine besoin de dire que la probabilité est différente pour un habitué des courses, qui est renseigné sur une foule de choses que j'ignore. Peut-on considérer que, indépendamment de ces probabilités subjectives, il existe une probabilité objective pour que A gagne? ............ Nous nous contenterons ici de signaler les erreurs graves que nous pourrions commettre en confondant les diverses probabilités subjectives à des esprits différents ou à un même esprit à des époques différentes. On peut dire avec Keynes que la probabilité d'un jugement a (tel que le cheval A gagnera) est relative à un certain corps de connaissance K inclus dans un esprit déterminé, à un instant déterminé ; cette probabilité peut être désignée par la notation P(a,K), pour éviter toute ambigüité. II faut remarquer que les probabilités personnelles peuvent avoir une répercussion plus ou moins appréciable sur des probabilités considérées comme objectives. Parmi ces probabilités objectives, l'une des catégories qui ont donné lieu au plus grand nombre d'études et d'applications pratiques est l'ensemble des probabilités qui concernent la durée de la vie humaine, sur lesquelles est basée la prospérité des compagnies d'assurances sur la vie. Retenons ici le cas du suicide. La plupart des compagnies d'assurances excluent ce cas de leurs polices d'assurance en cas de décès, ou tout au moins ne l'admettent que si le suicide est séparé par un assez long délai de la signature de la police. Il est clair, en effet, qu'un homme décidé à se tuer demain en simulant un accident, et désireux d'assurer une petite fortune à ses héritiers, pourrait parier à coup sûr avec une compagnie d'assurances, car il a sur la date de son décès des renseignements que ne peut avoir la compagnie. C'est un cas classique où la considération de la probabilité personnelle intervient dans un acte aussi usuel que la rédaction d'une police d'assurances. Il ne faudrait cependant pas croire qu'il doit être possible de tirer de ces cas particuliers des arguments sérieux contre les applications les plus fréquentes du calcul des probabilités, applications pour lesquelles les difficultés psychologiques et humaines ne se présentent pas ou se présentent dans des conditions où elles sont pratiquement négligeables. Il semble cependant que, chez certaines personnes, la méfiance qu'elles professent vis-à-vis du calcul des probabilités, est due, plus ou moins obscurément, à des causes analogues aux difficultés psychologiques que nous avons signalées. Elles se méfient des résultats de ce calcul, parce qu'elles supposent que ces résultats sont en contradiction avec le sentiment intérieur qu'elles ont de leur liberté de décision (sentiment intérieur entièrement indépendant de toute opinion métaphysique sur le libre arbitre ou le déterminisme). J'ai discuté ailleurs ce point de vue individualiste et je n'y insisterai pas ici (Le calcul des probabilités et la sensibilité individualiste (Revue du Mois et Le Hasard, Chap. VIII, p. 91)). Contentons-nous de répéter que, dans la mesure où ces objections psychologiques et humaines sont fondées, elles ont une portée très limitée et ne sauraient s'appliquer aux applications les plus importantes et les plus nombreuses du calcul des probabilités. Nous insisterons sur le fait que la théorie des probabilités n'est pas seulement un instrument indispensable dans certaines applications mais domine toute la science expérimentale, autant que la logique déductive domine la science mathématique. La valeur de toute science a comme fondement des raisonnements de probabilité ; il y a intérêt à les préciser et à les mettre en évidence, dans tous les cas où ils sont présentés sous une forme vague et implicite. Cela est particulièrement important dans les sciences en voie de constitution et d'évolution parmi lesquelles on peut citer, comme intéressant à des titres divers tous les humains, la météorologie et la médecine. Une interprétation scientifique des statistiques bien faites permettrait seule de juger correctement la valeur de certaines hypothèses ou de certaines méthodes de prévision qui jouent un grand rôle dans les progrès de ces deux sciences. Les probabilités sont également un auxiliaire indispensable pour l'examen critique des systèmes dont il s'agit de décider si leurs prétentions à être des sciences sont justifiées (astrologie, radiesthésie, chiromancie, graphologie, etc.) ; leur emploi correct permet seul d'arriver à des conclusions indépendantes de toute idée préconçue.

  • Sorbonne.


  • Discussion

M. Paul Langevin. — Vous avez écouté l'exposé suggestif de M. Borel si plein de sens et de théorie. Nous regrettons son départ avant la discussion et nous allons être tout à fait privés par son absence. Néanmoins, si quelqu'un d'entre vous désire présenter des observations ou poser des questions concernant Ie calcul des probabilités, nous nous ferons un plaisir de l'écouter et de lui répondre.

M. MATISSE. — Nous venons d'entendre des réflexions très pénétrantes de M. Borel sur la Statistique et le Calcul des Probabilités. A ce propos, je voudrais demander si, sous ce nom de Calcul des Probabilités, on n'a pas entendu dans le passé, et si l'on n'entend pas aujourd'hui encore des choses très différentes. Il y a d'abord la « Théorie des ensembles collectifs », — la Kollektivmasslehre ou Theorie der Kollektivgegenstande des Allemands —. Elle est fondée tout entière sur le Théorème de Bernoulli ou Loi des grands nombres, et sur sa formule. Ils permettent de déterminer la probabilité pour que « l'écart » d'une série d'épreuves soit inférieur, en valeur absolue, à une limite donnée, par exemple que dans dix mille parties, au jeu de pile ou face, l'apparition de face soit comprise entre quatre mille sept cents fois et cinq mille trois cents fois. Le théorème et la formule de Bernoulli supposent, avant tout, de très grands nombres d'épreuves, condition essentielle de leur emploi. La théorie des ensembles collectifs a une grande portée scientifique. Elle s'est montrée féconde en résultats de toutes sortes. Elle est employée en Statistique, en Physique, en Biométrique. D'autre part, on entend parfois, sous le nom de Théorie des probabilités, une tout autre doctrine : ce que Pascal appelait les jeux partis. Les problèmes envisagés par Pascal sont tous du même type : « Étant proposés deux joueurs à chacun desquels il manque un certain nombre de parties pour achever, faire le parti, c'est-à-dire le partage de l'enjeu. Par exemple : deux joueurs engagent chacun trente-deux pistoles et conviennent que l'enjeu appartient à celui qui, le premier, aura gagné trois parties. Le premier joueur gagne deux parties, le second une. Aucun n'a gagné l'enjeu. Au lieu de continuer à jouer jusqu'à ce qu'une décision soit acquise, ils conviennent de se séparer. Comment doivent-ils se partager équitablement les 64 pistoles d'après les résultats acquis présentement ? Tel est le problème des jeux partis (c'est-à-dire partagés). Je ne vois aucun rapport entre la Théorie des ensembles collectifs et la Théorie des jeux partis. La Théorie des ensembles collectifs suppose des séries d'épreuves très nombreuses. Elle a d'autre part, une portée générale. Les problèmes posés par Pascal portent sur un événement unique formé d'un très petit nombre de phases (dans l'exemple cité la partie se termine en cinq épisodes au plus). Ce sont des problèmes particuliers ; ils n'ont aucune portée scientifique générale. Ce sont des jeux de société - d'une société très distinguée et intelligente — des défis mathématiques comme aimaient à s'en lancer au XVIIe siècle les hommes cultivés pour mettre à l'épreuve la subtilité d'esprit et le jugement de leurs adversaires. Les applications scientifiques de la question importaient peu. C'était ce que nous appellerions aujourd'hui des matches. Il me parait ainsi qu'il y a dans le Calcul des Probabilités des choses foncièrement hétérogènes. La partie vraiment importante est la Théorie des ensembles collectifs. Elle est due à Bernoulli. C'est à lui, non à Pascal, qu'il convient d'attribuer l'invention du Calcul des Probabilités au sens moderne de l'expression.

M. FRÉCHET. — La distinction qui est faite par M. Matisse est très intéressante. Il s'agit de probabilités dans les deux cas. Et il est légitime de considérer chacun d'eux comme un chapitre de la théorie des probabilités.

M. LANGEVIN. — Il me semble que les grands nombres interviennent aussi dans le cas des problèmes considérés par Pascal.

M. MATISSE. — Pascal ne parle pas de « séries ».

M. FRÉCHET. — Au temps des anciens mathématiciens, on ne considérait pas la fréquence comme nous le faisons. Tacitement Pascal envisage une partie unique. Pascal et Laplace définissaient la probabilité sans rapport avec la fréquence par le rapport du cas favorable au nombre de cas défavorables. Il est certain que cette définition autre de la probabilité a prévalu pendant longtemps ; elle n'impliquait qu'une analyse combinatoire. Ce n'est que plus tard qu'on a été amené à la nouvelle définition actuelle.

M. RISSER. — Je partage absolument la manière de voir de M. Fréchet. Si avant Pascal et Fermat, il a été fait quelques études sur le calcul des probabilités, études dues à des Italiens, c'est Pascal qui, le premier, a traité systématiquement le pari ou ce que M. Matisse désigne par les jeux partis. Sans les travaux de Pascal et de Fermat dans le domaine du calcul des probabilités il aurait fallu cent ans, peut-être, ou deux cents ans pour trouver le théorème qui a fait la gloire de Bernoulli. Il est possible que, si l'on avait appelé l'attention de Pascal sur les grands nombres, il aurait entrevu le théorème de Bernoulli.

M. Paul LEVY. — Je voudrais à la fois répondre à M. Fréchet. et revenir sur un point fondamental de l'exposé de M. Borel : sur la distinction entre la probabilité subjective et objective. M. Borel a insisté sur le fait que la probabilité est essentiellement humaine. La théorie doit reposer sur la probabilité subjective qui nous conduit à poser des problèmes comme faisait Pascal et à établir un certain nombre de principes qui sont à la base de la théorie. C'est bien dans les travaux de Pascal qu'il faut voir la genèse des travaux qui ont été continués par Bernoulli et par d'autres savants. La probabilité subjective nous mène aux lois des grands nombres. D'autre part, il faut ajouter quelque chose à ce qu'a dit M. Borel à la fin de sa conférence. Il s'est demandé dans quel cas une probabilité devenait objective, et a dit qu'elle devenait en un certain sens objective lorsqu'elle était la même pour tous les hommes. Je voudrais exprimer une idée un peu différente: la probabilité devient dans une certaine mesure objective lorsqu'on peut envisager la répétition d'un événement dans les mêmes conditions. Tel est le cas si l'on tire une carte dans un jeu de cartes bien battu. Sans doute des circonstances variables d'une fois à l'autre et impossibles à connaître expliquent que le résultat varie d'une fois à l'autre ; la part du hasard, ou, si l'on veut, la part de l'imprévisible, existe. Mais certaines conditions essentielles subsistent ; l'impossibilité où nous sommes, parce que le jeu est bien battu, de savoir comment sont rangées les cartes, peut d'abord paraître un fait négatif, et subjectif ; mais elle est liée à une réalité objective précise : l'identité des formes des cartes, qui jouent toutes le même rôle au point de vue des gestes que l'on fait en mêlant les cartes. C'est ce fait objectif qui explique la tendance vers une fréquence limite que l'on est fondé à considérer comme une probabilité.

M. RISSER. — Je me permets de signaler qu'il ne faut point confondre probabilité et fréquence, car je n'ai pas besoin de rappeler ici les conditions que doivent remplir les observations pour que l'on puisse passer à la limite de la fréquence à la probabilité. Vous n'ignorez point comment sont établies les tables actuelles de mortalité des compagnies d'assurances ; si elles donnent aujourd'hui une image assez fidèle de la survie des assurés, par contre leur utilisation dans une période plus ou moins éloignée serait totalement illusoire si des progrès importants étaient réalisés dans la thérapeutique et la science médicale. Il s'en suit qu'à intervalles plus ou moins rapprochés, les techniciens sont tenus de procéder à des sondages, c'est-à-dire d'établir de nouvelles tables tant pour la population totale que pour certaines classes de population, en s'efforçant de se placer dans des conditions aussi voisines que possible de celles qui correspondent à un calcul concret des fréquences. La non-observation des règles fondamentales et tout spécialement celle du Théorème de Bernoulli ont eu — comme l'ont d'ailleurs constaté les actuaires américains — les plus graves conséquences sur le fonctionnement financier de l'assurance invalidité.

M. LANGEVIN. — A propos de ce que vient de dire M. RISSER, j'attire l'attention sur la précision avec laquelle on donne les résultats des statistiques. Les physiciens ont pris l'habitude d'indiquer les résultats en donnant l'ordre des précisions par les signes plus ou moins. Fait-on de même dans l'actuariat ?

M. RISSER. — Oui, car l'on suit ici l'exemple donné déjà depuis plusieurs années par les statisticiens anglais, et l'on indique les écarts moyens et les écarts quadratiques. Opérer ainsi, c'est utiliser de la manière la plus rationnelle un résultat statistique.

M. LANGEVIN. — Il y a un parallélisme entre la théorie et l'expérience. Le calcul des probabilités s'apparente immédiatement à une théorie physique sur des constructions d'ordre abstrait à partir de certaines notions reliées entre elles par des postulats. Ces postulats qui conduisent au point de vue mathématique à une confrontation de la théorie avec l'expérience, donnent des résultats satisfaisants. Dans la nature où la réalité correspond au postulat introduit à la base, on a souvent un peu négligé cette analogie. Mais les mathématiciens et les physiciens croient au calcul des probabilités. Le calcul des probabilités, tel qu'il se présente en tant que calcul, est une théorie physique basée sur le postulat dont on définit les qualités, le postulat d'indépendance, comme on définit les théories physiques. la situation au point de vue pratique entre le calcul des probabilités et ses applications est exactement la même qu'entre les théories physiques et les applications qu'on en veut faire. Il se trouve que la structure de nos théories physiques est plus compliquée que celle du calcul des probabilités. L'ensemble des postulats qui sont à la base est plus sujet à remaniements. nous bouleversons les théories, cela revient à modifier la structure. Dans le calcul des probabilités, l'ensemble des postulats est assez simple : il n'y a à changer que la manière d'appliquer. Il faut surtout s'assurer que les conditions n'ont pas changé, qu'il y a bien correspondance entre ces postulats et les conditions de Ia réalité. C'est là que doivent porter les efforts :il faut s'assurer que les conditions sont restées les mêmes, qu'elles vérifient les points fondamentaux. Dans nos théories, nous remettons, surtout depuis quelques dizaines d'années, plus volontiers en question, des postulats fondamentaux. Avant 1900, on s'accrochait à des choses établies. En définitive, les postulats en mécanique avaient le même degré de sécurité que le calcul des probabilités. Le calcul des probabilités fait davantage partie des mathématiques que les théories physiques. On peut éclairer la situation du calcul des probabilités par rapport à ses applications. Si on considère la situation par rapport à l'expérience, les résultats dont parlait M. Risser, qui sont des résultats d'expérience, sont exprimés dans le langage des proNous ne pouvons pas en physique énoncer nos résultats d'expérience sans nous référer à un minimum de conceptions théoriques. Quand nous faisons des mesures dans l'espace ou dans le temps, il est difficile d'énoncer des résultats d'expérience sans le faire dans le langage d'une théorie. De la même façon, les résultats d'observations s'énoncent dans le langage du calcul des probabilités. Nous avons, par exemple, en physique, l'occasion de constater une sorte d'actions et de réactions continuelles. C'est l'expérience cruciale, par exemple, par rapport à une théorie. La fameuse expérience sur la vitesse de la lumière comparée dans l'air et dans l'eau a longtemps semblé avoir ce caractère crucial parce qu'on la traduisait dans le langage de ces théories. L'expérience n'avait de signification cruciale que par rapport à la façon dont elle se présentait. De sorte que s'il est bien nécessaire de distinguer en matière de calcul des probabilités entre l'aspect théorique qui est une pure construction sur des bases nettement définies et les faits expérimentaux, l'énoncé même de ces résultats expérimentaux se fait dans le langage de la théorie des expériences.

M. FRÉCHET. — Je voudrais ajouter un mot pour signaler cette différence entre la théorie physique et le calcul des probabilités. La révision des postulats a comme conséquence une révision des théories elles-mêmes, tandis qu'actuellement la situation de l'intérêt des probabilités se présente de façon que les résultats restent les mêmes ainsi que les grandes propositions fondamentales : théorie de Bernoulli, conséquence des généralisations. Il y a actuellement un mouvement très prononcé de discussion des principes fondamentaux. Une série de savants, des Anglais pour commencer, ont tâché de rapprocher la notion de probabilité de la notion de fréquence pour faire une sorte de définition expérimentale de la probabilité. Il y a eu dans le calcul des probabilités des tentatives pour introduire de nouvelles conceptions. Elles étaient en dehors de la probabilité. Dans une époque plus récente, de nouvelles conceptions se sont fait jour. Nous avons pu entendre à l'Institut Pasteur, successivement, M. Von Moses, M. Finetti et de Candelli. Chacun est venu nous apporter des résultats qui aboutissent à des conclusions différentes. Les résultats généraux ne sont pas en discussion et les conceptions nouvelles n'affectent nullement la théorie elle-même.

M. NAHAS. — Je crois que la stabilité plus grande de l'édifice théorique de la Statistique mathématique pure relativement à la Statistique physique tient surtout au fait que pour cette discipline point n'est besoin de lois qualitatives, comme c'est le cas pour la Physique. Autrement dit, dans cette dernière discipline, c'est le défaut de mécanisme, le manque d'un modèle unique adéquat et définitif qui est cause de cette instabilité que nous constatons. L'introduction du modèle de Bohr en atomistique par exemple, son échec et son abandon, est une illustration de ce que je viens de dire.

M. LANGEVIN. — Évidemment la figure particulière de la théorie physique, c'est que le domaine que nous lui demandons de représenter s'élargit constamment, puisque primitivement chaque chapitre avait sa théorie indépendante et maintenant nous exigeons de gravir tout ensemble. Pour obtenir une construction qui puisse s'adapter à des conditions aussi larges, il faut modifier constamment la base. C'est une question de construction, de notions abstraites qui ne sont pas capables, par le jeu de nos combinaisons mathématiques, de se développer parallèlement à l'expérience. On a imposé des restrictions trop grandes à nos théories physiques. ll est certain que nous ne pouvons pas prolonger les notions qui servent en mécanique. Par conséquent, on ne peut pas parler de mécanisme sans exposer l'ensemble qui sera à la base de la théorie physique future, et l'évolution, depuis plusieurs années a précisément été dans l'éloignement progressif. La notion de force a été remplacée par la notion d'énergie. Actuellement, la vieille force des mécaniciens ne peut plus suffire et doit être éliminée. La notion de masse a déjà été bouleversée par la théorie de la relativité qui se confond avec la notion d'énergie. Également la théorie des quanta a bouleversé le reste de l'appoint matériel. Il faut remplacer par des notions nouvelles la notion antérieure. Elle a supporté la crise de la relativité d'où elle était venue. Elle surmonte aussi la crise des quanta. On pouvait croire à une inexactitude d'énergie. Il semble que l'on doive plutôt obtenir des résultats satisfaisants. Ce qui fait la difficulté, c'est la nécessité d'un renouvellement profond. Quel sera-t-il ? Nous n'en savons rien. On reviendra peut-être au mécanisme. Je crains que le mot ne fasse équivoque, et je crois qu'il vaut mieux réserver le mot mécanisme à l'extension d'une certaine conception. Avec les efforts qui ont été tentés, en particulier par les physiciens anglais, pour tout représenter, on a dû abandonner diverses notions.

M. ROUGIER. — Je voudrais signaler les tentatives qui ont été faites par Lukasiewicz, Tarski, et Reichenbach pour édifier une logique à un nombre infini de valeurs, dont le calcul de probabilités est une interprétation numérique. Déjà les mathématiques intuitionnistes avaient imposé une logique trivalente, laissant à une proposition la possibilité d'être vraie, fausse ou indéterminée. Pour formaliser les théories de la microphysique, il faut maintenant se servir de logiques probabilitaires, à un nombre infini de valeurs. Quand on change l'échelle des phénomènes, il faut changer de logique.

M. LANGEVIN. — Je crois que cette tentative est une tentative qui mérite d'être signalée au point de vue de l'édifice de nos idées. Il est intéressant d'observer cette logique à un nombre infini de valeurs. Aristote n'est pas encore assez mort.

M FRECHET. — La position de Reichenbach n'est pas très nouvelle. M. Borel précisément a présenté des réflexions qui s'apparentaient à cette vue. M. Borel avait donné l'exemple suivant. Chacun de nous a une conception assez nette de deux ou trois grains de sable ou d'un tas de sable. Mais à quel moment cesse-t-on d'avoir un, deux ou trois grains de sable, et à quel moment avons-nous un tas de sable, et nous éloignons-nous de l'idée du grain de sable ? On a une probabilité plus ou moins grande d'avoir un tas de sable ou quelques grains de sable. On exprime une succession d'états intermédiaires. Quand on rapproche ceci de la logique à trois valeurs, je me demande si là on ne pourrait pas faire quelques objections. Il m'a semblé que cette logique à trois valeurs n'avait pas reçu un accueil très favorable. Il m'a semblé qu'elle consistait à laisser la possibilité d'un troisième état entre l'affirmation et son contraire. Je pense que c'est à nous de définir une affirmation et une contre-affirmation de telle façon qu'il n'y ait pas lieu à un troisième état.

M. LANGEVIN. — Ne peut-il pas être intéressant dans la construction de la logique de conserver ce troisième état pour les cas où l'on ne sait pas ? On donne peut-être un aspect trop tranchant à la question. Que la logique tienne compte de l'existence des frontières, cela peut être intéressant.

M. FRÉCHET. — Je suis d'accord au point de vue de l'intérêt. Mais ce n'est pas nouveau. Je me rappelle avoir rencontré des physiciens disant que l'on peut déterminer une suite d'opérations qui permettent de définir le nombre : que l'on peut prouver qu'il existe. C'était une chose parfaitement admise. La démonstration n'est pas admissible quand elle n'implique pas une vue nouvelle avec laquelle j'ai très peu de sympathie. Aujourd'hui l'on veut une construction ; on a peut être tort. On va trop loin. Je suis d'accord qu'il est plus intéressant de prouver l'existence en donnant les moyens de le prouver, mais cela ne me paraît pas indispensable.

M. LANGEVIN. - Pour les physiciens il est agréable de savoir comment l'on construit.

M. FRÉCHET. - Il est certain que ces idées que l'on appelle la logique nouvelle sont souvent intéressantes. Je leur reproche leur langage. Il y a longtemps que l'on savait qu'il y avait des propositions démontrées vraies et d'autres démontrées fausses et des propositions incertaines. Ce que je reproche, c'est d'avoir apporté une confusion terrible dans les esprits. Lorsqu'on a dit que des propositions n'étaient ni vraies ni fausses, on a cru avoir apporté des idées nouvelles, on apportait seulement la confusion dans les esprits par un langage mal choisi.

M. MATISSE. — A propos des problèmes de Logique nouvelle dont vient de parler M. Rougier et du tas de sable rappelé par M. Fréchet, je voudrais faire une simple remarque. Toute notion a un champ de validité limité. Dans un certain domaine cette notion a un sens nettement défini. Elle est applicable sans ambiguïté aux éléments abstraits ou concrets compris en lui : elle s'ajuste bien à eux. Mais, à mesure que l'on s'approche des confins de ce domaine de validité mal circonscrit, dont aucune limite tranchée ne fixe la frontière, la notion, de moins en moins adaptée aux objets considérés, cesse d'avoir un sens précis : elle se dissipe. Par exemple, la notion d' « individu » a un sens parfaitement précis quand on envisage un animal supérieur, un Mammifère ou même un Vertébré (un chien, un perroquet, un poisson). Mais à mesure que l'on descend dans le règne animal, la notion d'individu devient de plus en plus vague. Une Planaire à qui l'on a fait des entailles dans le corps et qui a repoussé plusieurs têtes et plusieurs queues est-elle un individu ? Une Hydre d'eau douce qui a bourgeonné plusieurs polypes restés attachés au polype initial est-elle un ou plusieurs individus ? Une plante traçante qui envoie dans le sol des stolons d'où croissent, de distance en distance, des tiges feuillées, ou bien encore un arbre dont les branches redescendent dans le sol et donnent des boutures, sont-ils un individu ou une colonie ? La décision est arbitraire. Affaire purement conventionnelle, la notion n'étant plus applicable. De même le terme « être vivant » a un sens nettement défini pour un animal ou une plante composés d'une ou de plusieurs cellules, fût-ce un Infusoire et jusqu'à une Bactérie. Mais lorsque l'on descend au Bactériophage et aux Virus filtrants, il est vain de vouloir trancher ou même poser la question : sont-ce des êtres vivants ? Nous arrivons ici à un monde intermédiaire entre celui qui embrasse ce que nous sommes accoutumés à tenir pour des êtres vivants et celui que nous considérons comme formé des corps abiotiques. Les Virus filtrants et le Bactériophage possèdent, en effet, certaines propriétés appartenant spécifiquement aux êtres vivants : l'assimilation, l'adaptation, l'accroissement par multiplication. D'autre part, il leur manque certaines propriétés, qui semblent caractéristiques de ceux-ci : ils n'ont pas la constitution cellulaire, ne possèdent pas de noyau, ni même de chromatine diffuse, ils sont de la taille d'une grosse micelle colloïdale. Ils ont des propriétés en commun avec les complexes chimiques à l'état colloïdal. On peut aussi bien les classer dans les êtres vivants que dans les composés chimiques minéraux. La question, quand on arrive à ce niveau, cesse d'avoir un sens. Les notions : « être vivant » « être minéral » ne sont ni l'une ni l'autre adaptées à ce cas, applicables.

M. NAHAS. - Comme autre exemple de ce que vient de dire M. Matisse, je rappellerai les cristaux liquides de Lehman, de forme vermiculaire, qui vibrent, s'entortillent et roulent tout à fait comme des vers et qui montrent que même là, les frontières entre ce qu'on appelle la matière inerte — mais qui ne l'est pas du tout — et la matière vivante ne sont pas aussi tranchées qu'on le croit généralement. On reviendra peut-être un jour au mécanisme.

M. LANGEVIN. — Je remercie tous ceux qui ont participé à la discussion. Nous aurons l'occasion à la fin de cette semaine de revenir sur certains points des probabilités. Nous avons eu une très longue et féconde discussion, qui répond tout à fait à notre programme. J'espère que nous en aurons d'autres aussi longues et aussi fécondes.


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