Espace et temps dans un univers euclidien

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Espace et temps dans un univers euclidien
written by Paul Langevin
1935
  • ESPACE ET TEMPS DANS UN UNIVERS EUCLIDIEN

Je me propose, tout d'abord, de chercher quels sont tous les systèmes de référence H qui réalisent la décomposition d'un Univers euclidien en espace et temps, avec champ de gravitation statique, c'est-à-dire pour lesquels l'invariant métrique

(1) ds^2 = g(mu,nu)*d(x^mu)*d(x^nu)

prend la forme

(2) ds^2 = f^2*d(tau^2) - d(sigma^2) = f^2*d(tau^2) - gamma(i,k)*d(x^i)*d(x^k),

où tau représente la variable de temps x_0, f et gamma (i,k) étant fonctions seulement des trois coordonnées d'espace x^i que nous représenterons également par ksi, eta, zeta. La forme quadratique définie positive d(sigma^2) caractérise la métrique de l'espace lié au système de référence et f désigne la vitesse de la lumière, variable, en général, d'un point à l'autre de cet espace. L'identification des expressions (1) et (2) conduit aux relations:

(Tullio Levi-Civita, Rend. Della. R. Accad. dei Lincei, 5, t. 26, 1917, p. 458)

(3) g(0,0)=f^2, g(i,0)=g(0,i)=0, g(i,k)=g(k,i)=-gamma(i,k)=-gamma(k,i), g^(0,0)=1/(f^2), g^(i,0)=g^(0,i)=0, g^(i,k)=g^(k,i)=gamma(i,k)=gamma(k,i)

Pour exprimer que l'Univers est euclidien, il est nécessaire et suffisant d'annuler le tenseur de Riemann-Christoffel, dont les composantes covariantes sont

R(mu,nu,sigma,rho) = {mu, nu, alpha}*[sigma, rho, alpha] - {mu, sigma, alpha}*[nu, rho, alpha] +(1/2)*[d^2(g(sigma,rho))/(d(x^mu)*d(x^nu)) + d^2(g(mu,nu))/(d(x^sigma)*d(x^rho)) - d^2(g(mu,sigma))/(d(x^nu)*d(x^rho)) - d^2(g(nu,rho))/(d(x^mu)*d(x^sigma))],

[mu, nu, alpha] = (1/2)*[dg(mu,alpha)/d(x^nu) + dg(nu,alpha)/d(x^mu) - dg(mu,nu)/d(x^alpha)]

et

{mu, nu, alpha} = g^(alpha,beta)*[mu, nu, beta]

représentent les symboles de Christoffel de première et de seconde espèce correspondant à la forme ds^2 à quatre variables. Les composantes du tenseur de Riemann et les symboles de Christoffel pour la forme d'espace d(sigma^2) à trois variables seront représentés respectivement par R(i,j,k,l)', [i,k,l]' et {i,k,l}' où les indices i, j, k, l peuvent prendre seulement les valeurs 1, 2 ou 3.

En tenant compte de (3), on obtient facilement

(4) [i,k,l] = -[i,k,l]', [i,k,0] = 0, [i,0,k] = 0, [i,0,0] = f*df/d(x^i), [0,0,i] = -f*df/d(x^i), [0,0,0] = 0,

et

{i,k,l} = {i,k,l}', {i,k,0} = 0, {i,0,k} = 0, {i,0,0} = (1/f)*(df/d(x^i)), {0,0,i} = f*(f^i), {0,0,0} = 0,

(5) f^i = gamma(i,k)*[df/d(x^k)]

Les relations (3) et (4) donnent immédiatement pour les composantes d'espace R(i,j,k,l) du tenseur R(mu,nu,sigma,rho) dans lesquelles les indices prennent seulement les valeurs 1, 2 ou 3

R(i,j,k,l) = -R(i,j,k,l)'.

Il en résulte que, si l'Univers est supposé euclidien, c'est-à-dire si toutes les composantes du tenseur R s'annulent, il en est de même des composantes de R' et, par conséquent, que l'espace caractérisé par d(sigma^2) est nécessairement euclidien. On peut donc choisir les coordonnées x^i ou ksi, eta, zeta de manière à mettre d(sigma^2) sous la forme

d(sigma^2) = d(ksi^2) + d(eta^2) + d(zeta^2)

Ceci correspond à

gamma(i,i) = gamma^(i,i) = 1, gamma(i,k) = gamma^(i,k) = 0 pour i<>k,

et, par suite, d'après (5),

f^i = df/d(x^i).

Il reste à calculer les composantes de R pour lesquelles un ou deux des indices sont égaux à zéro, celles qui ont trois ou quatre indices égaux à zéro étant identiquement nulles. On vérifie facilement que, la forme adoptée pour d(sigma^2) conduisant à

[i,k,l] = [i,k,l]' = 0, {i,k,l} = {i,k,l}' = 0,

les composantes de R ayant un seul indice égal à zéro sont toutes nulles et que les composantes ayant deux indices égaux à zéro sont nulles ou égales, au signe près, aux composantes de la forme

R(i,0,k,0) = (df/d(x^i))*(df/d(x^k)) - (1/2)*(d^2(f^2)/(d(x^i)*d(x^k))) = f*d^2(f)/(d(x^i)*d(x^k)),

k pouvant être égal à i ou différent. Les composantes de R devant être toutes nulles pour que l'Univers soit euclidien, on est ainsi amené pour la fonction f aux six conditions indépendantes

f*d^2(f)/(d(x^i)*d(x^k)) = 0.

La vitesse de la lumière f ne pouvant, physiquement, être nulle en aucun lieu sans y arrêter le cours du temps, ces conditions se réduisent à

d^2(f)/(d(x^i)*d(x^k)) = 0.

Elles signifient que f est fonction linéaire des x^i, c'est-à-dire de ksi, eta, zeta. Cette fonction, par une orientation convenable des coordonnées d'espace, peut toujours se ramener à la forme

c*(1 + alpha*ksi)

où alpha est une constante et c la vitesse de la lumière dans les systèmes de référence galiléens ou systèmes d'inertie qui représentent un cas particulier de notre solution générale, celui où la constante alpha est nulle. Le ds^2 le plus général correspondant aux systèmes de référence qui décomposent de manière statique l'Univers euclidien en espace et en temps peut donc être mis sous la forme

(6) ds^2 = (c^2)*((1 + alpha*ksi)^2)*d(tau^2) - (d(ksi^2) + d(eta^2) + d(zeta^2)).

Ce résultat est en contradiction avec l'affirmation de M. Glaser ((1) W. Glaser, Zeits. f. Physik, t. 92, 1934, p. 64) que seuls les systèmes galiléens peuvent réaliser cette décomposition.

Le système de référence défini par (6) est le siège d'un champ de gravitation statique dirigé suivant l'axe des ksi et d'intensité

(1/2)*(d(f^2)/d(ksi)) = alpha*(c^2)*(1+alpha*ksi).

On peut chercher quelle doit être la valeur de la constante alpha pour que ce champ soit, dans le plan ksi = 0, de même intensité que le champ de la pesanteur au voisinage du sol, dans un système de référence lié à la Terre. La condition

alpha*(c^2) = g

donne ainsi, en unités C.G.S., pour la constante alpha, une valeur de l'ordre de 10(-18), ce qui correspond, au voisinage du plan considéré, à un champ de gravitation pratiquement uniforme à notre échelle puisqu'il faudrait, dans la direction des ksi, un déplacement de l'ordre de 10^18 centimètres pour modifier appréciablement l'intensité du champ de gravitation dans le système de référence défini par (6). En vertu du principe d'équivalence d' Albert Einstein, les propriétés de ce système de référence correspondant à un espace euclidien siège d'un champ de gravitation pratiquement uniforme, sont celles d'un laboratoire terrestre lié au sol et pour lequel notre axe des ksi est dirigé de haut en bas. Cette remarque va nous permettre de résoudre très simplement un certain nombre de problèmes concernant les lois de la Physique dans un tel laboratoire, de démontrer, en particulier, que l'électrostatique y est possible et qu'un corps électrisé immobile n'y crée qu'un champ électrique sans champ magnétique, que ce corps n'émet par suite aucun rayonnement, contrairement à ce que pourrait faire prévoir le fait que ce corps et le système de référence auquel il est lié sont en mouvement accéléré par rapport aux systèmes de référence galiléens.

Les problèmes tels que ceux de l'électromagnétisme étant en effet complètement résolus dans ces derniers systèmes de référence par la théorie classique, au point de vue de laquelle nous nous plaçons ici, il suffit, pour en trouver la solution dans le système LI également euclidien, d'utiliser les transformations ponctuelles qui permettent de passer du système H à un système galiléen quelconque, de coordonnées x, y, z, t où l'invariant métrique prend la forme habituelle

(7) ds^2 = (c^2)*(dt^2) - (dx^2 + dy^2 + dz^2).

Nos résultats s'appliqueront en toute rigueur à un système de référence H et aussi, avec une approximation suffisante en raison de la petitesse de alpha, à un laboratoire terrestre lié au sol.


LES SYSTÈMES HYPERBOLIQUES.


Pour mettre les transformations ponctuelles cherchées sous la forme la plus simple, introduisons, dans le système H, au lieu de ksi et tau les coordonnées epsilon et thêta définies par

(8) epsilon = ksi + 1/alpha, thêta = alpha*c*tau.

L'invariant (6) prend ainsi la forme

(9) ds^2 = (epsilon^2)*d(thêta^2) - (d(epsilon^2) + d(eta^2) + d(zeta^2)).

On voit facilement que le changement de coordonnées

(10) c*t = epsilon*sh(thêta), x = epsilon*ch(thêta), y = eta, z = zeta,

permet de passer de la forme (7) à la forme (9). Ceci vérifie le caractère euclidien de (9) ou de (6) et fournit en même temps la transformation qui permet de passer d'un système de référence H à un système galiléen.

L'élimination de thêta entre les deux premières équations (10) conduit à

(11)

Ce résultat signifie qu'un point fixe, d'abscisse epsilon, par rapport au système H, se meut, par rapport au système galiléen, suivant la loi dite hyperbolique représentée par la relation (11) entre x et t. Ce mouvement est précisément celui qui joue, en relativité restreinte, le rôle du mouvement uniformément accéléré en dynamique newtonienne; c'est, en effet, le mouvement pris, dans un système de référence galiléen, c'est-à-dire en l'absence de champ de gravitation, par un mobile de masse propre (m_0) sous l'action d'une force constante de grandeur (m_0)*(c^2)/(epsilon). On vérifie en effet facilement que, si l'on pose

beta = (1/c)*(dx/dt),

la loi de mouvement (11) satisfait à l'équation longitudinale de la dynamique einsteinienne

[(m_0)/[(1-beta^2)^(3/2)]]*[d^2(x)/d(t^2)] = (m_0)*(c^2)/(epsilon).

Chaque point lié au système H étant ainsi en mouvement hyperbolique par rapport à un système galiléen, nous pouvons désigner les systèmes H sous le nom d'hyperboliques et énoncer sous la forme suivante la solution du problème que nous nous sommes posé au début : Les seuls systèmes de référence permettant la décomposition statique d'un Univers euclidien en espace et temps sont les systèmes hyperboliques caractérisés par la forme (6) ou (9) de l'invariant métrique.


L'ÉLECTROSTATIQUE HYPERBOLIQUE.


Proposons-nous maintenant de trouver le champ électromagnétique créé dans le système H par une particule électrisée immobile et placée au point origine

ksi = eta = zeta = 0,

et pour laquelle, par conséquent, en vertu de (3), epsilon est égal à (1/alpha) ou (epsilon_0). Transposé dans le système galiléen, ce problème consiste à trouver le champ électromagnétique dont s'entoure une particule électrisée en mouvement hyperbolique suivant la loi

(12) X^2 - (c^2)*(T^2)=((epsilon_0)^2), Y=0, Z=0,

en désignant par X, Y, Z les coordonnées de la particule à l'instant T. On sait, d'après la solution des potentiels retardés de Hendrik Antoon Lorentz, que la position A et la vitesse V de la particule à l'instant T déterminent les potentiels scalaire et vecteur du champ en un point quelconque B de coordonnées x, y, z à l'instant t, à condition que la distance R entre les points A et B, définie par

(13) R^2 = (x-X)^2 + y^2 + z^2,

soit égale au chemin parcouru par la lumière pendant l'intervalle de temps t -T, c'est-à-dire que

(14) R = c(t - T).

Si e est la charge de la particule, on sait que le potentiel scalaire U et les composantes Fx, Fy, Fz, du potentiel vecteur au point B à l'instant t sont donnés par

(15) U = e/[(K_0)*R*(1-V(R)/c)], Fx = (mu_0)*e*V/[R*(1-V(R)/c)], Fy = 0, Fz = 0,

où V(R) est la projection de la vitesse V, dirigée suivant l'axe des x, sur la direction AB de la distance R; on a évidemment

V(R) = V*[(x - X)/R].

On tire d'ailleurs de (12)

V = dX/dT = (c^2)*T/X,

et l'on obtient, en tenant compte de (13), (14) et (15) et en remplaçant la perméabilité du vide (mu_0) par 1/((K_0)*(c^2)),

(16) U = e*X/[(K_0)*c*(t*X - x*T)], Fx = e*T/[(K_0)*c*(t*X - x*T)], Fy = 0, Fz = 0.

Il faut maintenant calculer les potentiels dans le système H en fonction de epsilon, eta, zeta, thêta, pour en déduire ensuite les composantes du champ électromagnétique. Il nous faut, pour cela, utiliser les transformations (10) et le fait que c*Fx, c*Fy, c*Fz et -U se comportent comme les composantes d'espace et de temps d'un vecteur d'Univers covariant. Si nous désignons par Phi(epsilon), Phi(eta), Phi(zeta), Phi(thêta) les composantes covariantes de ce vecteur dans le système H nous obtenons, par applications des lois qui régissent la transformation des tenseurs

(17) Phi(epsilon) =c*Fx*(dx/d(epsilon)) - U*(d(c*t)/d(epsilon)), Phi(eta) = 0, Phi(zeta) = 0, Phi(thêta) = c*Fx*(dx/d(thêta)) - U*(d(c*t)/d(thêta)).

On déduit de (10)

(dx/d(epsilon)) = x/epsilon, (dt/d(epsilon)) = t/epsilon, (dx/d(thêta)) = c*t, (d(c*t)/d(thêta)) = x,

d'où, en tenant compte de (16) et (17),

Phi(epsilon) = -e/[(K_0)*c*epsilon], Phi(eta) = 0, Phi(zeta) = 0, Phi(thêta) = e*[(c^2)*t*T - x*X]/[(K_0)*c*(t*X - x*T)].

L'induction magnétique étant le rotationnel d'espace de ce potentiel, on voit immédiatement par les expressions de Phi(epsilon), Phi(eta) et Phi(zeta) que toutes les composantes de l'induction et, par conséquent, du champ magnétique, sont nulles. Il en résulte que la particule électrisée liée au système de référence H ne s'entoure d'aucun champ magnétique. Le champ électrique aura pour composantes les dérivées d'espace de Phi(thêta), c'est-à-dire que ce champ est le gradient du potentiel

U(thêta) = -Phi(thêta) = e*[x*X - (c^2)*t*T]/[(K_0)*c*(t*X - x*T)].

Un calcul simple permet, en tenant compte des relations (12), (13) et (14), d'exprimer ce potentiel en fonction des coordonnées epsilon, eta, zeta, thêta. En posant

rho^2 = epsilon^2 + eta^2 + zeta^2,

on obtient

(18) U(thêta) = e*(rho^2 + (epsilon_0)^2)/[(K_0)*c*sqrt[((rho^2+(epsilon_0)^2)^2) - 4*(epsilon^2)*((epsilon_0)^2)]].

Ce potentiel est indépendant de thêta. Il correspond par conséquent à un champ électrostatique.

Les résultats précédents sont remarquables en ce sens qu'ils affirment, au point de vue de la théorie classique, le caractère relatif du rayonnement : la particule considérée, créant dans le système hyperbolique un champ purement électrostatique n'émet, par rapport à ce système de référence, aucun rayonnement. Au contraire, par rapport à un système galiléen quelconque, elle possède un mouvement accéléré et rayonne de manière continue.

En appliquant ce résultat cas d'un laboratoire terrestre, nous pouvons affirmer qu'une particule électrisée, maintenue immobile dans ce laboratoire en équilibrant l'action de la pesanteur par une force électrique (expérience de Millikan) ou par une force élastique, n'émet aucun rayonnement et produit autour d'elle un champ purement électrostatique. Ainsi se trouve résolu le paradoxe en vertu duquel la particule, ayant un mouvement accéléré par rapport aux systèmes de référence d'inertie, devrait rayonner de manière continue. Il résulte de notre analyse que ce rayonnement n'a qu'un caractère relatif et disparaît pour des observateurs liés à la particule. Une électrostatique est donc possible dans un laboratoire terrestre où règne un champ de pesanteur uniforme.

Quels sont les caractères de cette électrostatique hyperbolique et dans quelle mesure diffère-t-elle de l'électrostatique de Coulomb valable pour les seuls systèmes de référence galiléens? Pour le voir, revenons, dans le système hyperbolique, aux coordonnées ksi et tau reliées à epsilon et thêta par les équations (8).

Le potentiel scalaire U se transformant, dans un changement de coordonnées, comme la composante covariante de temps d'un vecteur d'Univers, on aura

U(tau) = (d(thêta)/d(tau))*U(thêta) = alpha*c*U(thêta) = (c/(epsilon_0))*U(thêta)

En tenant compte de (8) et (18), et en posant

r^2 = ksi^2 + eta^2 + zeta^2,

r étant la distance entre le point ksi, eta, zeta et l'origine où se trouve le corps électrisé, il vient

U(thêta) = [e/((K_0)*r)]*[2*(epsilon_0)*((epsilon_0)+ksi)+(r^2)]/[sqrt(4*(epsilon_0)*(epsilon_0+ksi)+r^2)]

ou, en remplaçant (epsilon_0) par 1/alpha,

(19) U = [e/((K_0)*r)]*[2*(1+alpha*ksi)+(alpha^2)*(r^2)]/[sqrt(4(1+alpha*ksi)+(alpha^2)*(r^2)].

Lorsque alpha est nul, le système hyperbolique devient galiléen et l'on retrouve bien le potentiel de Coulomb

U = e/((K_0)*r).

Lorsque alpha est très petit, comme dans le cas du laboratoire terrestre où il est égal à g/(c^2), on peut, en négligeant les termes en alpha^2, la distance r étant supposée très petite par rapport à 10^18 cm, obtenir comme première approximation

U = [e/((K_0)*r)]*sqrt(1+alpha*ksi) = [e/((K_0)*r)]*sqrt(1+(g/(c^2))*ksi).

Cette formule donne la loi fondamentale de l'électrostatique dans un champ de gravitation uniforme d'intensité g. Les surfaces équipotentielles autour d'une charge ponctuelle y sont des sphères excentriques au lieu d'être concentriques comme dans le cas de la loi de Coulomb.

  • Extrait du Livre jubilaire de M. Marcel Brillouin.